Question

如圖，在中，，，，AF=10cm， AC=14cm，動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以1cm/s的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

（1）求證：在運(yùn)動(dòng)過程中，不管t取何值，都有；

（2）當(dāng)t取何值時(shí)，與全等；

（3）在（2）的前提下，若，,求。

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由角平分線的性質(zhì)可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面積轉(zhuǎn)化為底AE和CG的比值，根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出AE和CG的長(zhǎng)度即可證明在運(yùn)動(dòng)過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．

(2)若△DFE與△DMG全等，則EF=MG，利用已知條件求出EF和MG的長(zhǎng)度，建立方程解方程即可求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

（3）利用等高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，即可求得答案．

試題解析：（1）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF=DM，

∵S_△AED=AE•DF，S_△DGC=CG•DM，

∴，

∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

∴AE=2tcm，CG=tcm，

∴，即，

∴在運(yùn)動(dòng)過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．

（2）解：設(shè)時(shí)間為t時(shí)，△DFE與△DMG全等，則EF=MG

①當(dāng)M在線段CG的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，

即10-2t=4-t，

解得：t=6，

當(dāng)t=6時(shí)，MG=-2，所以舍去；

②當(dāng)M在線段CG上時(shí)，

∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），

即10-2t=t-4，

解得：t=，

綜上所述當(dāng)t=時(shí)，△DFE與△DMG全等．

（3）∵t=，

∴AE=2t=（cm），

∵DF=DM，

∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，

∵AC=14cm，

∴AB=（cm），

∴BF=AB-AF=-10=（cm），

∵S_△ADE：S_△BDF=AE：BF=：，S_△AED=28cm²，

∴S_△BDF=（cm²）．

考點(diǎn): 1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.三角形的面積；3.角平分線的性質(zhì)．