Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于M，BE切⊙O于B交AC的延長(zhǎng)線于E，若CD=4，BE=3，則⊙O的直徑等于（ ）

A．2
B．3
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：先連接BC．由于AB是直徑，CD⊥AB，易得∠CMA=90°，CM=DM=CD=2，CM²=AM•BM，而BE是切線，易知∠EBA=90°，從而易證CD∥BE，再根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論可知△ACM∽△ABE，于是AM：AB=CM：BE，再設(shè)AM=x，BM=y，可得關(guān)于x、y的方程，解可求x、y，從而可求AB．
解答：解：如右圖所示，連接BC，
∵AB是直徑，CD⊥AB，
∴∠CMA=90°，CM=DM=CD=2，CM²=AM•BM，
∵BE是切線，
∴∠EBA=90°，
∴CD∥BE，
∴△ACM∽△ABE，
∴AM：AB=CM：BE，
設(shè)AM=x，BM=y，那么
   ，
解得，
∴AB=x+y=3．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、解方程．解題的關(guān)鍵是證明CD∥BE，得出△ACM∽△ABE．