Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C在該拋物線上，使△ABD≌△BAC．求點(diǎn)C的坐標(biāo)，及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）P是（2）中線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標(biāo)，令x=0，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）若△ABD≌△BAC，則C、D必關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)此，由此可得C點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得直線AC的函數(shù)解析式．
（3）設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AC和拋物線的解析式，即可表示出P、E的縱坐標(biāo)，從而得到關(guān)于PE的長(zhǎng)和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可得到PE的最大長(zhǎng)度及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，
解得x₁=-1或x₂=3，（1分）
∴A的坐標(biāo)為：A（-1，0），B的坐標(biāo)為：B（3，0），（2分）
令x=0，解得y=-3；
∴D的坐標(biāo)為：D（0，-3）．（3分）

（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得C的坐標(biāo)為：（2，-3），（5分）
設(shè)AC的解析式為：y=kx+b，
將A（-1，0），C（2，-3）代入可求得k=-1，b=-1；
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1．（8分）

（3）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），（注：x的范圍不寫不扣分）
則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），（9分）
E（x，x²-2x-3）；（10分）
∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=-x-1-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

；（12分）
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，PE的最大值=

9

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識(shí)，難度適中．