Question

如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E、D，連接EC、CD．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）試猜想BC，BD，BE三者之間的等量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據OA=OB，CA=CB，可以證明OC⊥AB，利用切線的判定定理，經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，得到AB是⊙O的切線；
（2）根據ED是直徑，直徑所對的圓周角是直角，以及圓的切線垂直于過切點的半徑，利用等量代換得到∠E=∠BCD，又∠B公共，可以證明△BCD∽△BEC，然后利用相似三角形的性質，對應線段的比相等得到BC²=BD•BE．
解答：（1）證明：如圖，連接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：BC²=BD•BE．
證明：∵ED是直徑，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90°，
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴，
∴BC²=BD•BE．
點評：本題考查了切線的判定，（1）利用等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高，得到OC⊥AB，證明AB是⊙O的切線．（2）根據題意證明兩個三角形相似，利用相似三角形的性質，得到線段BC，BD和BE的數量關系．