Question

14．已知，點(diǎn)B、C是雙曲線y=$\frac{4}{x}$在第一象限分支上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，△AOB為等腰直角三角形，∠B=90°，AC垂直于x軸．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA于點(diǎn)H，根據(jù)△AOB是等腰直角三角形得出BH=OH=$\frac{1}{2}$OA．設(shè)B（a，a）（a＞0），由點(diǎn)B在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上求出a的值，故可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C（4，y）．根據(jù)點(diǎn)C在雙曲線上即可得出y的值；
（2）設(shè)D（x，0），用x表示出BC²，BD²，CD²的值，再分BC=BD，BC=CD或BD=CD三種情況進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA于點(diǎn)H，
∵△AOB是等腰直角三角形，∠B=90°，
∴BH=OH=$\frac{1}{2}$OA．
∵點(diǎn)B在第一象限，
∴設(shè)B（a，a）（a＞0）．
∵點(diǎn)B在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上，
∴a²=4，
∴a=2或a=-2（不合題意，舍去），
∴B（2，2），
∴A（4，0）．
∵AC⊥x軸，
∴設(shè)C（4，y），
∵點(diǎn)C在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上，
∴C（4，1）；

（2）∵設(shè)D（x，0），
∴BC²=5，BD²=x²-4x+8，CD²=x²-8x+17，
當(dāng)△BCD是等腰直角三角形時(shí)，BC=BD，BC=CD或BD=CD．
當(dāng)BC=BD，即BC²=BD²時(shí)，x²-4x+8=5，解得x=1或x=3，
∴D（1，0）或（3，0）；
當(dāng)BC=CD，即BC²=CD²時(shí)，x²-8x+17=5，解得x=2或x=6，
當(dāng)D（6，0）時(shí)，BC=CD=$\sqrt{5}$，BD=2$\sqrt{5}$，
∴BC+CD=BD，不能構(gòu)成三角形，
∴x=6不合題意，
∴D（2，0）；
當(dāng)BD=CD，即BD²=CD²，x²-4x+8=x²-8x+17，解得x=$\frac{9}{4}$，
∴D（$\frac{9}{4}$，0）．
綜上所述，D（1，0），（3，0），（2，0），（$\frac{9}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，在解答（2）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．