Question

如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求證：四邊形AODE是菱形；
（2）若將題設中“矩形ABCD”這一條件改為“菱形ABCD”，其余條件不變，則四邊形AODE的形狀是什么？說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）矩形，理由見解析.

試題分析：（1）根據矩形的性質求出OA=OD，證出四邊形AODE是平行四邊形即可；（2）根據菱形的性質求出∠AOD=90°，再證出四邊形AODE是平行四邊形即可.
試題解析：（1）∵矩形ABCD的對角線相交于點O，
∴AC＝BD（矩形對角線相等），OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD（矩形對角線互相平分）.∴OA＝OD .
∵DE∥CA ，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）.
∴四邊形AODE是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.
（2）矩形，理由如下：
∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形.
∵菱形ABCD，∴AC⊥BD. ∴∠AOD=90°.
∴平行四邊形AODE是矩形．