Question

（2013•徐州模擬）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A、B、C、D的坐標分別為（4，0）、（0，4）、（-4，0）、（0，-4），點M為AB上一點，

AM

MB

=

1

3

，∠EMF在AB的下方以M為中心旋轉(zhuǎn)且∠EMF=45°，ME交y軸于點P，MF交x軸于點Q．設(shè)AQ的長為m（m＞0），BP的長為n．試回答下列問題：
（1）點M的坐標為

（3，1）

；
（2）當點P的坐標為

（0，1）、（0，4-3

2

）、（0，-2）

 時，以A、Q、M為頂點的三角形為等腰三角形；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，以Q、M、P、O為頂點的四邊形的面積會等于2嗎？如果可以，試求出此時n的值；如果不可以，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出

AM

AB

，過點M作MN⊥OA于N，可得△AMN和△ABO相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出AN、MN，再求出ON，即可得到點M的坐標；
（2）根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ABO=∠BAO=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BPM+∠BMP=135°，根據(jù)平角的定義求出∠BMP+∠AMQ=135°，然后求出∠BPM=∠AMQ，然后求出△BPM和△AMQ相似，利用勾股定理求出AM，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出mn=6，再分①AM=MQ時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出m的值，再求出n的值，從而求出OP，得到點P的坐標，②AM=AQ時，先求出得到m的值，再求出n的值，然后求出OP，即可得到點P的坐標，③MQ=AQ時，求出m的值，再求出n的值，然后OP，即可得到點P的坐標；
（3）分點Q在x正半軸、負半軸以及點P在y軸負半軸上三種情況，根據(jù)三角形的面積列出方程求出m、n的值，再根據(jù)點P、Q的位置作出判斷解答即可．

解答：解：（1）∵

AM

MB

=

1

3

，
∴

AM

AB

=

1

4

，
過點M作MN⊥OA于N，
則△AMN∽△ABO，
∴

AN

OA

=

MN

OB

=

AM

AB

，
即

AN

4

=

MN

4

=

1

4

，
解得AN=MN=1，
∴ON=OA-AN=4-1=3，
∴點M的坐標為（3，1）；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
在△BPM中，∠BPM+∠BMP=180°-45°=135°，
∵∠EMF=45°，
∴∠BMP+∠AMQ=180°-45°=135°，
∴∠BPM=∠AMQ，
∴△BPM∽△AMQ，
∴

BP

AM

=

BM

AQ

，
根據(jù)勾股定理，AM=

12+12

=

2

，BM=3AM=3

2

，
∴

n

2

=

3 2

m

，
∴mn=6，
①AM=MQ時，m=2AQ=2，
∴n=6÷2=3，
∴OP=4-3=1，
此時，點P的坐標為（0，1）；
②AM=AQ時，m=

2

，
n=6÷

2

=3

2

，
OP=4-3

3

，
此時，點P的坐標為（0，4-3

2

）；
③MQ=AQ時，△AMQ是等腰直角三角形，m=AN=1，
∴n=6÷1=6，
OP=4-6=-2，
此時，點P的坐標為（0，-2）；
綜上所述，當點P的坐標為（0，1）、（0，4-3

2

）、（0，-2）時，以A、Q、M為頂點的三角形為等腰三角形；
故答案為：（1）（3，1）；（2）（0，1）、（0，4-3

2

）、（0，-2）；


（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，在旋轉(zhuǎn)過程中，△BPM∽△AMQ，mn=6，
①如圖1，點Q在x正半軸上時，S=

1

2

（4-n）×3+

1

2

（4-m）×1=2，
整理得，m+3n=12，
聯(lián)立

m+3n=12 mn=6

，
解得

m1=6-3 2 n1=2+ 2

，

m1=6+3 2 n1=2- 2

（m＞4，舍去），
此時，n=2+

2

；
②如圖2，點Q在x軸負半軸上時，S=

1

2

（4-n）×3+

1

2

（4-n）（m-4）=2，
整理得，n+4m=14，
聯(lián)立

n+4m=14 mn=6

，
解得

m1=3 n1=2

，

m2= 1 2 n2=12

，
∵m＜4，點Q在x正半軸上，
∴都不符合題意，舍去；
③如圖3，點P在y軸負半軸上時，S=

1

2

（4-m）×1+

1

2

（4-m）（n-4）=2，
整理得，3m+4n=22，
聯(lián)立

3m+4n=22 mn=6

，
解得

m1=6 n1=1

（n＜4，舍去），

m2= 4 3 n2= 9 2

，
此時，n=

9

2

，
綜上所述，n的值為2+

2

或

9

2

時，以Q、M、P、O為頂點的四邊形的面積會等于2．

點評：本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解二元二次方程，綜合性較強，難度較大，（2）（3）兩題要注意分情況討論．