Question

已知正方形ABCD與正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖（1）），則S_△ABE與S_△ADG的關(guān)系為

 

．
（2）當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到CB的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖（2）），則S_△ABE與S_△ADG的關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形的面積相等即可；
（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)同角的余角相等求出∠EAB=∠GAH，再利用“角角邊”證明△ABE和△AHG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GH=EB，然后根據(jù)三角形的面積公式列式即可得到兩三角形面積相等．

解答：解：（1）在正方形ABCD與正方形AEFG中，AB=AD，AE=AG，∠BAD=90°，
所以∠BAE=∠DAG=90°，
在△ABE和△ADG中，

AB=AD ∠BAE=∠DAG=90° AE=AG

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴S_△ABE=S_△ADG；

（2）S_△ABE=S_△ADG．
理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
則∠BAH=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
∵∠EAB+∠EAH=90°，∠GAH+∠EAH=90°，
∴∠EAB=∠GAH，
在△ABE和△AHG中，

∠EAB=∠GAH ∠ABE=∠H=90° AE=AG

，
∴△ABE≌△AHG（AAS），
∴GH=EB，
∵S_△ABE=

1

2

AB•EB，S_△ADG=

1

2

AD•GH，
∴S_△ABE=S_△ADG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，（2）作輔助線，構(gòu)造出全等三角形，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等求出AB邊上的高EB與AD邊上的高GH相等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．