Question

（2008•青島）已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC；
（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由；
（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，我們可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出關(guān)于AP，AB，AQ，AC的比例關(guān)系，我們觀察這四條線段，已知的有AC，根據(jù)P，Q的速度，可以用時(shí)間t表示出AQ，BP的長，而AB可以用勾股定理求出，這樣也就可以表示出AP，那么將這些數(shù)值代入比例關(guān)系式中，即可得出t的值．
（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據(jù)Q的速度和時(shí)間t表示出來．關(guān)鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求．AP的長可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出y與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）如果將三角形ABC的周長和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長，那么可以求出此時(shí)t的值，我們可將t的值代入（2）的面積與t的關(guān)系式中，求出此時(shí)面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時(shí)刻．
（4）我們可通過構(gòu)建相似三角形來求解．過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個(gè)矩形，解題思路：通過三角形BPN和三角形ABC相似，得出關(guān)于BP，PN，AB，AC的比例關(guān)系，即可用t表示出PN的長，也就表示出了MC的長，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線段和AC的長，就可以根據(jù)AC=AQ+QM+MC來求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的長，也就能求出菱形的邊長了．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
∴=，∴=，
∴t=．所以當(dāng)t=時(shí)，PQ∥BC．

（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴PH=3-t，
∴y=×AQ×PH=×2t×（3-t）=-t²+3t．

（3）若PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．
若PQ把△ABC面積平分，則S_△APQ=S_△ABC，即-+3t=3．
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分．

（4）過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴=，∴=，
∴PN=，
∴QM=CM=，
∴t+t+2t=4，解得：t=．
∴當(dāng)t=s時(shí)，四邊形PQP'C是菱形．
此時(shí)PM=3-t=cm，CM=t=cm，
在Rt△PMC中，PC===cm，
∴菱形PQP′C邊長為cm．
點(diǎn)評：本題圖形結(jié)合的動(dòng)態(tài)題，是近幾年考試熱點(diǎn)，同時(shí)考查三角形相似知識，是一道很好的綜合題．本題亮點(diǎn)是巧妙結(jié)合圖形綜合考查不同知識點(diǎn)．