Question

（2011•西藏）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D．
（1）尺規(guī)作圖：作△ABC的外接圓⊙O，作直徑AE，連接CE；（不寫作法，保留作圖痕跡） 
（2）已知AD=4，AB=5，AC=6，求外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）分別作AB、AC兩邊的垂直平分線，相交于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑畫圓，⊙O即為所求的三角形的外接圓，連接AO并延長(zhǎng)與⊙O相交于點(diǎn)E，AE即為直徑，再連接CE即可；
（2）根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠B=∠E，直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACE=90°，然后證明△ABD和△AEC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）如圖所示，⊙O即為所求的三角形的外接圓，AE為直徑；

（2）∵∠B、∠E所對(duì)的弧都是

AC

，
∴∠B=∠E，
∵AD⊥BC，AE是直徑，
∴∠ADB=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AE

AB

=

AC

AD

，
∵AD=4，AB=5，AC=6，
∴

AE

5

=

6

4

，
解得AE=

15

2

．
所以，外接圓的半徑為

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了作三角形外接圓，主要利用了線段垂直平分線的作法，還考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大．