Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）的頂點(diǎn)為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且BO=OC,AO=DO，直線y=mx+1與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）證明：△DBO∽△EBC；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+1，y=x2﹣2x﹣3（2）證明見解析（3）P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）

【解析】分析：（1）拋物線，求出即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)即可確定一次函數(shù)解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可確定二次函數(shù)解析式.
（2）先把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式得到E（1，-4），再利用一次函數(shù)解析式確定D（0，1），則利用兩點(diǎn)間的距離公式可計(jì)算出

而得到 然后根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷
（3）設(shè)設(shè)P(1,m),則利用兩點(diǎn)間的距離公式可得 然后分類討論即可.

詳解：(1)∵拋物線，

∴

∵

把代入得

∴直線解析式為,

∵直線與y軸交于點(diǎn)D，

∵

∵該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

解得：

∴拋物線解析式為

(2)證明：∵

∴E(1,4)，

當(dāng)x=0時(shí), ,則D(0,1)，

∵B(3,0),A(1,0),C(0,3)，

∴

∵

∴

∴△BCE∽△BDO；

(3)存在，

理由：拋物線的對稱軸為直線x=1,設(shè)P(1,m),則

當(dāng)PB=PC時(shí),△PBC是等腰三角形,則m2+4=(m+3)2+1,解得m=1,此時(shí)P(1,1)，

當(dāng)PB=BC時(shí),△PBC是等腰三角形,則m2+4=18,解得 此時(shí)或

當(dāng)PC=BC時(shí),△PBC是等腰三角形,則(m+3)2+1=18,解得此時(shí) 或

綜上所述,當(dāng)符P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或或或或時(shí)，△PBC是等腰三角形。