Question

如圖1，在平面直角坐標系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜邊AB與y軸交于點C．
（1）若∠A=∠AOC，求證：∠B=∠BOC；
（2）如圖2，延長AB交x軸于點E，過O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度數(shù)；
（3）如圖3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分線交FO的延長線于點P，∠A=40°，當△ABO繞O點旋轉(zhuǎn)時（斜邊AB與y軸正半軸始終相交于點C），問∠P的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求其度數(shù)；若改變，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠A=∠AOC，
∴∠B=∠BOC；

解：（2）∵∠A+∠ABO=90°，∠DOB+∠ABO=90°，
∴∠A=∠DOB，
又∵∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，
∴∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA，
∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，
∴∠A=30°；

（3）∠P的度數(shù)不變，∠P=25°．理由如下：（只答不變不得分）
∵∠AOM=90°-∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC，
又∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，
∴∠FOM=45°-∠AOC ①，∠PCO=∠A+∠AOC ②，
①+②得：∠PCO+∠FOM=45°+∠A，
∴∠P=180°-（∠PCO+∠FOM+90°）
=180°-（45°+∠A+90°）
=180°-（45°+20°+90°）
=25°．
分析：（1）由直角三角形兩銳角互余及等角的余角相等即可證明；
（2）由直角三角形兩銳角互余、等量代換求得∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠E；然后根據(jù)外角定理知∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°；從而求得∠DOB=30°，即∠A=30°；
（3）由角平分線的性質(zhì)知∠FOM=45°-∠AOC ①，∠PCO=∠A+∠AOC ②，根據(jù)①②解得∠PCO+∠FOM=45°+∠A，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得旋轉(zhuǎn)后的∠P的度數(shù)．
點評：本題綜合考查了三角形內(nèi)角和定理、坐標與圖形的性質(zhì)．解答時，需注意，△ABO旋轉(zhuǎn)后的形狀與大小均無變化．