Question

如圖，十三個(gè)邊長(zhǎng)為正整數(shù)的正方形紙片恰好拼成一個(gè)大矩形（其中有三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)已標(biāo)出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)小正方形的排列特點(diǎn)，表示出每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)矩形對(duì)邊相等列出等式得到x與y的關(guān)系式，推出x、y的最小值，即可得到矩形的面積最小值．

解答：解：已有三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，y，z，我們通過(guò)x，y，z表示其余正方形的邊長(zhǎng)依次填在每個(gè)正方形中，
它們是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．
因矩形對(duì)邊相等，
所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．
化簡(jiǎn)上述的兩個(gè)方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，
消去z得18x=49y．
因?yàn)?8與49互質(zhì)，
所以x、y的最小自然數(shù)解是x=49，y=18，
此時(shí)z=38．
以x=49，y=18，z=38代入矩形長(zhǎng)、寬的表達(dá)式11x+3y及8x+8y-3z，
得長(zhǎng)、寬分別為593和422．
此時(shí)得最小面積值是593×422=250246．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，要觀察圖形的特點(diǎn)，根據(jù)圖形特點(diǎn)結(jié)合矩形的性質(zhì)解答是解題的基本思路．