Question

15．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE平分∠BCD，交AB于點(diǎn)E，AF平分∠CAD，交CD于點(diǎn)F．
求證：EF∥BC．

Answer 1

分析 由已知條件得到∠ACD=∠B，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCE=∠ECB，求得∠ACE=∠B+∠ECB=∠AEC，根據(jù)等腰三角形的判定得到AC=AE，推出△AFC≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠AEF=∠B，由平行線的判定定理即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠ACD=∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠ECB，
∴∠ACD+∠DCE=∠B+∠ECB，
即：∠ACE=∠B+∠ECB=∠AEC，
∴AC=AE，
∵AF平分∠CAD，
∴∠CAF=∠EAF，
在△AFC和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠EAF}\\{AC=AE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AFE，
∴∠ACD=∠AEF=∠B，
∴EF∥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．