Question

（2010•泰安）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，BE=1，求cosA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD、OD，根據AC是圓的直徑，即可得到AD⊥BC，再根據三角形中位線定理即可得到OD∥AB，這得到OD⊥DE，從而求證，DE是圓的切線．
（2）根據平行線分線段成比例定理，即可求得FC的長，即可求得AF，根據余弦的定義即可求解．
解答：（1）證明：連接AD、OD
∵AC是直徑
∴AD⊥BC（2分）
∵AB=AC
∴D是BC的中點
又∵O是AC的中點
∴OD∥AB（4分）
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切線（6分）

（2）解：由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴（8分）
∴
∴
解得FC=2
∴AF=6
∴Rt△AEF中，cos∠FAE====．（10分）
點評：本題考查了切線的判定，垂徑定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．并且本題還考查了三角函數的定義．