Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OEFG的頂點(diǎn)E坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，）．將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點(diǎn)A．
（1）求過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定得出△OGA∽△OMN，再利用相似三角形的性質(zhì)得出AG的長(zhǎng)度，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出∠GOA=30°，得到∠POD=30°，即可得出PD．DO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用弧長(zhǎng)公式求出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)即可．
解答：解：（1）由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
故△OGA∽△OMN，
∴=，
=，
解得：AG=1，
∴A（1，），
設(shè)反比例函數(shù)y=，把A（1，）代入，得k=，
即y=；

（2）如圖所示：連接OF，作PD⊥DO于點(diǎn)D，
∵A（1，），
∴tan∠GOA===，
∴∠GOA=30°，
∴∠POD=30°，
∵頂點(diǎn)G坐為（0，），將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，
∴PO=，
∴PD=×=，DO=，
故點(diǎn)P（-，），
∵tan∠FOE=，
∴∠FOE=30°，
∴∠FON=60°，
∵OF==2，
∴l(xiāng)==π．
故答案為：P（-，），π．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用圖形的旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)，利用圖形的旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)的得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．