Question

將正方形的四個頂點用線段連接起來，怎樣的連線最短？研究發(fā)現(xiàn)，并非連對角線最短，而是如圖的連線更短（即用線段AE、BE、EF、CF、DF把四個頂點連接起來）．已知圖中ABCD是正方形，∠BAE=∠ABE=∠FDC=∠FCD=30°，∠AEF=∠DFE且AE=DF．
（1）請你證明AD∥EF；
（2）設(shè)正方形邊長為2，計算連線AE+BE+EF+CF+DF的長度．

Answer 1

分析：延長EF與CD交于點G，延長FE與AB交于H點，求證AH=BH=DG=CG，即可證明EH⊥AB，F(xiàn)G⊥CD，根據(jù)AH的長可以計算AE，EH，即可求得AE+BE+EF+CF+DF的值．

解答：解：延長EF與CD交于點G，延長FE與AB交于H點，
∵∠AEF=∠DFE，∴∠AEH=∠DFG，
∵∠EAH=∠FDG，AE=DF
∴△AEH≌△DFG，
∴AH=DG，

（1）∵∠AEF=∠DFE，∠BAE=∠FDC=30°
∴∠EAD=∠FDA，且AE=DF
∴四邊形ADFE是等腰梯形，且EF∥AD，

（2）正方形ABCD的邊長為2，
則在直角△AEH中，AH=BH=1，
∴AE=

AH

cos30°

=

1

3 2

=

2

3

=

2 3

3

，
EH=

3

3

，
即EF=2-

2 3

3

，
故AE+BE+EF+CF+DF，
=4×

2 3

3

+2-

2 3

3

，
=2+2

3

．
答：AE+BE+EF+CF+DF的長度為2+2

3

．

點評：本題考查了正方形各邊長相等的性質(zhì)，全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，平行線的判定，準確的計算AE、EF的值是解題的關(guān)鍵．