Question

已知：△ABC，∠C=90°∠BAC=ɑ，AD為中線，BE為∠ABC的平分線，交AD于F．
（1）若sinɑ=

1

2

，則

CE

AE

=

 

，

AF

DF

=

 

；
（2）若sinɑ=

4

5

，求證：2AF=5DF；
（3）寫(xiě)出

AF

DF

與ɑ的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作CG∥AB，根據(jù)角平分線的定義和兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可以證明∠G=∠CBG，所以BC=CG，再根據(jù)平行線可以得到△CEG與△AEB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，

CE

AE

=

CG

AB

=sinɑ；過(guò)D作DH∥AC，根據(jù)AD是中線可得DH是△BCE的中位線，DH=

1

2

CE，再根據(jù)平行線得到△AEF與△DHF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式并代入整理即得AF：DF=2÷sinɑ，然后計(jì)算即可；
（2）與（1）的第二問(wèn)的思路相同，只是把sinɑ的值換成

4

5

，然后進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）與（1）的第二問(wèn)的思路相同寫(xiě)出即可．

解答：（1）解：①如圖，過(guò)C作CG∥AB，
∴∠G=∠ABG，
∵BE為∠ABC的平分線，
∴∠ABG=∠CBG，
∴∠G=∠CBG，
∴BC=CG，
∵CG∥AB，
∴△CEG∽△AEB，
∴

CE

AE

=

CG

AB

，
∴

CE

AE

=

BC

AB

，
∵△ABC，∠C=90°，∠BAC=ɑ，
∴sinɑ=

BC

AB

=

1

2

，
即

CE

AE

=

1

2

；

②過(guò)D作DH∥AC，
∵AD為中線，
∴DH是△BCE的中位線，
∴DH=

1

2

CE，
又根據(jù)DH∥AC可得△AEF∽△DHF，
∴

AF

DF

=

AE

DH

，
∴

AF

DF

=

AE

1 2 CE

=2×

AE

CE

=

2

sinɑ

=

2

1 2

=4；
故答案為：

1

2

，4；

（2）證明：如圖，過(guò)D作DH∥AC，同（1）可證

AF

DF

=

AE

DH

=2×

AE

CE

，
∵BE為∠ABC的平分線，
∴

AE

CE

=

AB

BC

=

1

sinɑ

，
∴

AF

DF

=2×

1

sinɑ

，
∵sinɑ=

4

5

，
∴

AF

DF

=2×

5

4

=

5

2

，
即2AF=5DF；

（3）與（1）的第二問(wèn)同理：

AF

DF

=

2

sina

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，解直角三角形，利用角平分線證明出三角形角平分線分對(duì)邊所得兩條線段的比等于三角形的兩鄰邊之比是解本題的關(guān)鍵．