Question

已知：△ABC，∠C=90°∠BAC=ɑ，AD為中線，BE為∠ABC的平分線，交AD于F．
（1）若sinɑ=

1

2

，則

CE

AE

=

 

，

AF

DF

=

 

；
（2）若sinɑ=

4

5

，求證：2AF=5DF；
（3）寫出

AF

DF

與ɑ的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）過C作CG∥AB，根據角平分線的定義和兩直線平行，內錯角相等可以證明∠G=∠CBG，所以BC=CG，再根據平行線可以得到△CEG與△AEB相似，根據相似三角形對應邊成比例，

CE

AE

=

CG

AB

=sinɑ；過D作DH∥AC，根據AD是中線可得DH是△BCE的中位線，DH=

1

2

CE，再根據平行線得到△AEF與△DHF相似，根據相似三角形對應邊成比例列式并代入整理即得AF：DF=2÷sinɑ，然后計算即可；
（2）與（1）的第二問的思路相同，只是把sinɑ的值換成

4

5

，然后進行計算即可；
（3）與（1）的第二問的思路相同寫出即可．

解答：（1）解：①如圖，過C作CG∥AB，
∴∠G=∠ABG，
∵BE為∠ABC的平分線，
∴∠ABG=∠CBG，
∴∠G=∠CBG，
∴BC=CG，
∵CG∥AB，
∴△CEG∽△AEB，
∴

CE

AE

=

CG

AB

，
∴

CE

AE

=

BC

AB

，
∵△ABC，∠C=90°，∠BAC=ɑ，
∴sinɑ=

BC

AB

=

1

2

，
即

CE

AE

=

1

2

；

②過D作DH∥AC，
∵AD為中線，
∴DH是△BCE的中位線，
∴DH=

1

2

CE，
又根據DH∥AC可得△AEF∽△DHF，
∴

AF

DF

=

AE

DH

，
∴

AF

DF

=

AE

1 2 CE

=2×

AE

CE

=

2

sinɑ

=

2

1 2

=4；
故答案為：

1

2

，4；

（2）證明：如圖，過D作DH∥AC，同（1）可證

AF

DF

=

AE

DH

=2×

AE

CE

，
∵BE為∠ABC的平分線，
∴

AE

CE

=

AB

BC

=

1

sinɑ

，
∴

AF

DF

=2×

1

sinɑ

，
∵sinɑ=

4

5

，
∴

AF

DF

=2×

5

4

=

5

2

，
即2AF=5DF；

（3）與（1）的第二問同理：

AF

DF

=

2

sina

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，解直角三角形，利用角平分線證明出三角形角平分線分對邊所得兩條線段的比等于三角形的兩鄰邊之比是解本題的關鍵．