Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC向點(diǎn)C以每秒2厘米的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以每秒1厘米的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜5），△PQC的面積為Scm²．
（1）求S與t之間函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQC的面積最大，最大面積是多少？
（3）在P、Q的移動(dòng)過程中，△PQC能否為直角三角形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴根據(jù)勾股定理得：AC=10cm，
又∵運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜5），
∴AP=2tcm，CQ=tcm，
CP=（10-2t）cm．
過Q點(diǎn)作QE⊥AC于E點(diǎn)．
∵∠QEC=∠B=90°，∠ACB=∠ACB，
∴△QEC∽△ABC，
∴，
∴，∴
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=PC•QE=（10-2t）•=+3t．
答：S與t之間函數(shù)關(guān)系式是S=-t²+3t．

（2）解：∵，
∴時(shí)，△PQC的面積最大，最大面積是，
答：當(dāng)t為s時(shí)，△PQC的面積最大，最大面積是cm²．

（3）在P、Q的移動(dòng)過程中，△PQC能為直角三角形．
分兩種情況：
①當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，
∵△CPQ∽△CAB，
∴
∴，
解得符合題意．
②當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，
∵△CPQ∽△CBA，
∴，
∴，
解得符合題意．
綜合上述，在P、Q的移動(dòng)過程中，
當(dāng)s或時(shí)，△PQC能為直角三角形．答：在P、Q的移動(dòng)過程中，△PQC能為直角三角形，此時(shí)t的值是s或s．
分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，過Q點(diǎn)作QE⊥AC于E點(diǎn)，得到△QEC∽△ABC，推出比例式=，代入即可求出QE的值，代入三角形的面積公式即可得到答案；
（2）把（1）的解析式化成頂點(diǎn)式即可得到答案；
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，由相似得到比利式即可求出t的值；②當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，同法可求出t的值，即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的面積，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是利用相似得到比例式進(jìn)而得到方程．題型較好，有一定的難度，綜合性比較強(qiáng)．分類討論思想的運(yùn)用．