Question

已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BC為直徑的⊙O，且AB=AD，延長CB、DA，交于P點(diǎn)，CE與⊙O相切于點(diǎn)C，CE與PD的延長線交于點(diǎn)E．當(dāng)PB=OC，CD=18時，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：連接OA、BD，OA與BD交于F點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理由AB=AD得到OA⊥BD，BF=DF，則OF=DC=9，根據(jù)圓周角定理的推論由BC為⊙O的直徑得到∠BDC=90°，則OA∥DC，得到△PAO∽△PDC，根據(jù)相似比可得到得OA=12，PA=PD，即PD=3AD，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出BF=3，AB=6，則PD=18，然后根據(jù)切線的性質(zhì)和切割線定理得到CE⊥PC，EC²=DE•EA，再利用勾股定理得EC²=PE²-PC²，于是得到關(guān)于DE的方程DE（DE+6）=（18+DE）²-36²，然后解方程即可．
解答：解：如圖，連接OA、BD，OA與BD交于F點(diǎn)，
∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∴OA⊥BD，BF=DF，
而OB=OC，
∴OF=DC=9，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴OA∥DC，
∴△PAO∽△PDC，
∴==，
∵PB=OC，CD=18，
∴==，解得OA=12，PA=PD，即PD=3AD，
∴AF=12-9=3，
在Rt△OAF中，BF==3，
在Rt△ABF中，AB==6，
∴PD=3×6=18，
∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴CE⊥PC，EC²=DE•EA，
在Rt△PCE中，EC²=PE²-PC²，
∴DE•EA=PE²-PC²，即DE（DE+6）=（18+DE）²-36²，
∴DE=．
點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、垂徑定理、三角形相似的判定與性質(zhì)以及切割線定理．