Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點(diǎn)D地邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上．
（1）求證：△ADE≌△BGF；
（2）若正方形DEFG的面積為16cm²，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠A=45°，再根據(jù)四邊形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，由全等三角形的判定定理即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，由正方形DEFG的面積為16cm²可求出其邊長，故可得出AB的長，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理可求出AD的長，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出AC的長．
解答：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴∠BFG=∠AED=90°，
故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，
∵在△ADE與△BGF中，
，
∴△ADE≌△BGF（ASA）；


（2）解：過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，
∵正方形DEFG的面積為16cm²，
∴DE=AE=4cm，
∴AB=3DE=12cm，
∵△ABC是等腰直角三角形，CG⊥AB，
∴AG=AB=×12=6cm，
在Rt△ADE中，
∵DE=AE=4cm，
∴AD===4cm，
∵CG⊥AB，DE⊥AB，
∴CG∥DE，
∴△ADE∽△ACG，
∴=，=，
解得AC=6cm．
點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．