Question

如圖，在△ABC中，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G、H分別在BC、AC上，且EF²=AE•FB．
（1）求證：∠C=90°；
（2）求證：AH•CG=AE•FB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，易證△AEH∽△GFB，可得∠A=∠FGB，利用等角的余角相等，即可得出∠B+∠A=90°，又根據(jù)平角等于180°，即∠C+∠B+∠A=180°，即證∠C=90°．
（2）根據(jù)平行關(guān)系，易得△AEH∽△HCG，即有

AH

GH

=

HE

CG

，結(jié)合已知條件，EF=GH=HE，即有EF²=AH•CG，又EF²=AE•FB
即證AH•CG=AE•FB．

解答：證明：（1）∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=HE，∠AEH=∠GFB=90°（1分）
∵EF²=AE•FB∴

HE

BF

=

AE

GF

（1分）
∴△AEH∽△GFB（1分）
∴∠A=∠FGB（1分）
∵∠B+∠FGB=90°
∴∠B+∠A=90°（1分）
∵∠C+∠B+∠A=180°
∴∠C=90°（1分）

（2）∵GH∥AB
∴∠CHG=∠A（1分）
又（1）可得：∠C=∠AEH=90°（1分）
∴△AEH∽△HCG（1分）
∴

AH

GH

=

HE

CG

（1分）
∵EF=GH=HE
∴EF²=AH•CG（1分）
又EF²=AE•FB
∴AH•CG=AE•FB（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用和正方形的性質(zhì)，屬于幾何綜合題，具有一定的綜合性．