Question

如圖，已知⊙O是四邊形ABCD的外接圓，直線AD，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是弦CD的中點(diǎn)，直線EF交弦AB于點(diǎn)G，求證：
（1）ED•EA=EC•EB；
（2）AG：GB=AE²：BE²．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，據(jù)此性質(zhì)證△EDC∽△EAB，從而得證；
（2）根據(jù)三角形面積公式和CF=DF求出，

S△DEF

S△CEF

=1，由正弦定理推出

S△DEF

S△CEF

=1根據(jù)△EDC∽△EAB求出

sin∠DEF

sin∠CEF

=

EA

EB

，根據(jù)三角形面積公式求出

S△AEG

S△BEG

=

AG

BG

=

AE

BE

•

sin∠DEF

sin∠CEF

，代入求出即可．

解答：證明：
（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形
∴∠DCE=∠A，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EAB
∴

ED

EB

=

EC

EA

故ED•EA=EC•EB；
（2）證明：∵△DEF的邊DF和△CEF的邊CF上的高相等，
∵CF=DF，
∴

S△DEF

S△CEF

=1，
由正弦定理得：

S△DEF

S△CEF

=

1 2 DE•EFsin∠DEF

1 2 CE•EFsin∠CEF

=

DEsin∠DEF

CEsin∠CEF

=1
∵△EDC∽△EAB
∴

DE

CE

=

EB

EA

，
∴

EBsin∠DEF

EAsin∠CEF

=1，
∴

sin∠DEF

sin∠CEF

=

EA

EB

，
∵△AEG邊AG和△BEG邊CG上的高相等，
∴

S△AEG

S△BEG

=

AG

BG

=

1 2 AE•EGsin∠AEG

1 2 BE•EGsin∠BEG

=

AE

BE

•

sin∠DEF

sin∠CEF

=

AE

BE

×

AE

BE

，
即

AG

BG

=

AE2

BE2

．

點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用好圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的面積公式．