Question

已知拋物線與x軸交于點A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為P，對稱軸為l：x＝1．

（1）求拋物線解析式．

（2）直線y＝kx＋2(k≠0)與拋物線相交于兩點M（x₁，y₁），N(x₂，y₂)（x₁＜x₂），當(dāng) 最小時，求拋物線與直線的交點M和N的坐標(biāo)．

（3）首尾順次連接點O，B，P，C構(gòu)成多邊形的周長為L．若線段OB在x軸上移動，求L最小值時點O，B移動后的坐標(biāo)及L的最小值．

 

Answer 1

 

(2)、由  ∴+(k－2)x－1=0   +=－(k－2)  ·=－1

∴   ∴當(dāng)k=2時，的最小值為4

即的最小值為2     ∴－1=0   =1，=－1，即=4，=0

∴當(dāng)最小時，拋物線與直線的交點為M(－1,0)，N(1,4).

(3)、O(0,0)，B(3,0)，P(1,4)，C(0,3)   O、B、P、C構(gòu)成多邊形的周長L=OB+BP+PC+CO

∵線段OB平移過程中，OB、PC的長度不變    ∴要使L最小，只需BP+CO最短

如圖，平移線段OC到BC′    四邊形OBC′C是矩形    ∴C′(3,3)

做點P關(guān)于x軸對稱點P′(1，－4)，連接C′P′與x軸交于點B′，設(shè)C′P′解析式為y=ax+n

∴   解得：   ∴y=

當(dāng)y=0時，x=    ∴B′(，0)   有3－=   故點B向左平移，平移到B′

同時點O向左平移，平移到O′(－，0)

即線段OB向左平移時，周長L最短.

此時線段BP、CO之和最短為P′C′=，O′B′=OB=3   CP=

∴當(dāng)線段OB向左平移，即點O平移到O′(－，0)，點B平移到B′(，0)時，周長L最短為：++3.