Question

如圖，已知AB=a，BD=b，（a、b為常數(shù)），BC=BD，∠ABD：∠BAC：∠ACD：∠CBD=1：2：4：4．
則2S_△ABC-S_△ABD-S_△ACD=

 

．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：根據(jù)已知條件“BC=BD，∠ABD：∠BAC：∠ACD：∠CBD=1：2：4：4”、以及△ABC的內(nèi)角和是180°可以求得∠ABD=10°，∠CBD=∠ACD=40°，∠BCD=70°；然后作點D關(guān)于BC的對稱點D′，連接BD′，構(gòu)建直角三角形ABD′；最后將所求的2S_△ABC-S_△ABD-S_△ACD轉(zhuǎn)化為求S_△ABD′的面積，利用對稱的性質(zhì)以及直角三角形的面積公式可以求解．

解答：解：∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD（等邊對等角）；
又∵∠ABD：∠BAC：∠ACD：∠CBD=1：2：4：4，
∴設(shè)∠ABD=x，則∠BAC=2x，∠ACD=4x，∠CBD=4x，
∴∠ABD+∠DBC+∠BCD+∠ACD+∠BAC=x+4x+

180°-4x

2

+4x+2x=180°（三角形內(nèi)角和定理），
解得，x=10°；
∴∠ABD=10°，∠CBD=∠ACD=40°，∠BCD=70°；
作點D關(guān)于BC的對稱點D′，連接BD′，則BD=BD′，∠DBC=∠CBD′=40°，∠BCD′=∠BCD=70°，
∴∠ABD′=∠ABD+2∠DBC=90°，∠ACD′=∠ACD+2∠DBC=180°，即點D′在AC的延長線上，
∴△AABD′是直角三角形；
而AB=a，BD=b，
∴2S_△ABC-S_△ABD-S_△ACD
=2S_△ABC-S_△ABD-（S_△ABC-S_△ABD-S_△BCD）
=S_△ABC+S_△BCD=S_△ABC+S_△BCD′
=S_△ABD′
=

1

2

AB•BD′
=

1

2

AB•BD
=

1

2

ab．
故答案是：

1

2

ab．

點評：本題考查了面積及等積轉(zhuǎn)換．解答本題的技巧性在于通過點作△BCD關(guān)于BC對稱的△BCD′來構(gòu)建直角三角形ABD′．