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(2009•鄂州)如圖所示,將矩形OABC沿AE折疊,使點O恰好落在BC上F處,以CF為邊作正方形CFGH,延長BC至M,使CM=|CE-EO|,再以CM、CO為邊作矩形CMNO.
(1)試比較EO、EC的大小,并說明理由;
(2)令m=,請問m是否為定值?若是,請求出m的值;若不是,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若CO=1,CE=,Q為AE上一點且QF=,拋物線y=mx2+bx+c經過C、Q兩點,請求出此拋物線的解析式;
(4)在(3)的條件下,若拋物線y=mx2+bx+c與線段AB交于點P,試問在直線BC上是否存在點K,使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似?若存在,請求直線KP與y軸的交點T的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據折疊的條件得到EO=EF,在直角△CEF中,斜邊大于直角邊,因而EF>EC故EO>EC
(2)四邊形CFGH與四邊形CNMO的面積可以用直角△CEF的面積,可以證明四邊形CFGH與四邊形CNMO的面積相等.因而就可以求出m的值.
(3)已知OC=1,可以得到C點的坐標是(0,1),易證△EFQ是等邊三角形,已知QF=就可以求出Q點的坐標,把C,Q點的坐標代入函數y=mx2+bx+c,就可以求出b,c的值,就可以得到函數的解析式.
(4)過Q作y軸的垂線,已知E,Q點的坐標,可以根據三角形相似,求出OA的長,就可以求出P點的橫坐標,進而求出P點的坐標.
若△PBK與△AEF相似,根據相似三角形的對應邊的比相等,可以求出BK的值,即得到K的坐標.
解答:解:(1)EO>EC,理由如下:
由折疊知,EO=EF,在Rt△EFC中,EF為斜邊,
∴EF>EC,
故EO>EC.

(2)m為定值,理由如下:
∵S四邊形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO-EC)=CO•(EO-EC),
S四邊形CMNO=CM•CO=|CE-EO|•CO=(EO-EC)•CO,


(3)∵CO=1,,
∴EF=EO=,
∴cos∠FEC=,
∴∠FEC=60°,
,
∴△EFQ為等邊三角形,
作QI⊥EO于I,EI=,IQ=,
∴IO=
∴Q點坐標為
∵拋物線y=mx2+bx+c過點C(0,1),Q,m=1,
∴可求得,c=1,
∴拋物線解析式為

(4)由(3),,
時,<AB,
∴P點坐標為,
∴BP=AO.
方法1:若△PBK與△AEF相似,而△AEF≌△AEO,則分情況如下:
時,BK=,
∴K點坐標為;
時,,
∴K點坐標為或(0,1).
故直線KP與y軸交點T的坐標為
方法2:若△BPK與△AEF相似,由(3)得:∠BPK=30°或60°.
過P作PR⊥y軸于R,則∠RTP=60°或30°.
①當∠RTP=30°時,,
②當∠RTP=60°時,,

點評:本題主要考查了待定系數法求函數解析式,以及相似三角形的性質,相似三角形的對應邊的比相等.
練習冊系列答案
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B.(8,5)
C.(4,3)
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A.(3,
B.(8,5)
C.(4,3)
D.(

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