Question

如圖，拋物線y＝x²＋mx＋n交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線y＝kx＋b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與這條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M（1，2），且點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．

（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)題中的拋物線與直線的另一交點(diǎn)為C，已知P為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，試證明：當(dāng)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)取得最大值，并求出PQ的最大值；

（3）設(shè)D、E為直線AC上的兩點(diǎn)（不與A、C重合），且D在E的左側(cè)，DE＝2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸交拋物線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸交拋物線于點(diǎn)G．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)D，使得以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，－2）

∴ 其函數(shù)關(guān)系式為y＝(x－1)－2＝x－x－.

（2）由 x－x－＝0得 x＝－1或3，即A（－1，0）、B（3，0）

由A（－1，0）、M（1，2）可得直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝x＋1.

設(shè)P（t，t＋1），則Q的坐標(biāo)為（x，t－t－）

∴ PQ＝(t＋1)－(t－t－)＝－t＋2t＋＝－(t－2)＋

　　　　　 ∴ 當(dāng)t＝2時(shí)，PQ有最大值為，

即P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至AC的中點(diǎn)時(shí)，PQ長(zhǎng)有最大值為.

（3）符合條件的點(diǎn)共有3個(gè)，分別為D1(2，3)，D2( 1－2，2－2)，D3（1＋2，2＋2）.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 （第（3）小題得出1解得2分，2解得3分，3解得4分）