Question

如圖．△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＞BC，點D為的中點．求證：AD²=AC•BC+CD²．

Answer 1

證明：如圖，過點D作DE⊥AC．
垂足為點E，
AD²-CD²=（AE²+DE²）-（DE²+EC²）
=AE²-EC²，
=（AE+EC）（AE-EC）
=AC（AE-CE），①
過點D作DF⊥BC，交BC的延長線于點F．連接BD，
∵D為弧AB的中點，
∴AD=BD，
∵∠DAC=∠DBC，∠DEA=∠DFB=90°，
∴Rt△AED≌Rt△BFD，
∴AE=BF，②
DE=DF，
∵∠DEC=∠DFC=90°，DC=DC，
∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE=CF③
綜合式①、②、③，得：AD²-CD²=AC（BF-CF）=AC•BC，
即：AD²=AC•BC+CD²．
分析：過點D作DE⊥AC，根據(jù)勾股定理得到AD²-CD²=AC（AE-CE），過點D作DF⊥BC，交BC的延長線于點F．連接BD，根據(jù)D為弧AB的中點得出AD=BD，證Rt△AED≌Rt△BFD和Rt△CED≌Rt△CFD，推出AE=BF，CE=CF，代入①即可求出答案．
點評：本題主要考查對勾股定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，垂線的定義，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外接圓與外心等知識點的理解和掌握，正確作輔助線并熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行證明是證此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強(qiáng)，難度適中．