Question

（2013•涉縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=-

1

4

x²+

3

2

x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（0，4）

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（8，0）

；
（2）△ABC是直角三角形嗎？若是，請(qǐng)給予證明；
（3）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0即得二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，令y=0即得二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)得出AB，BC，AC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理逆定理得出即可；
（3）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不確定，因此要分成三種情況討論：
①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此時(shí)A點(diǎn)符合E點(diǎn)的要求，即此時(shí)A、E重合；
②CE=DE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：E點(diǎn)橫坐標(biāo)為點(diǎn)D的橫坐標(biāo)加上CD的一半，然后將其代入直線AC的解析式中，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
③CD=CE，此時(shí)CE=5，過(guò)E作EG⊥x軸于G，已求得CE、CA的長(zhǎng)，即可通過(guò)相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例線段求得EG、CG的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在二次函數(shù)中令x=0得y=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），
令y=0得：-

1

4

x2+

3

2

x+4=0，
即：x²-6x-16=0，
∴x=-2和x=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）．
故答案為：A（0，4），C（8，0）；

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），
∴AO=4，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），
∴BO=2，CO=8，∴BC=10，
∴AC=

42+82

=4

5

，
∴AB=

22+42

=2

5

，
∴AB²+AC²=100，
∵BC²=100，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）易得D（3，0），CD=5，
設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則：

b=4 8k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=4

；
∴y=-

1

2

x+4；
①當(dāng)DE=DC時(shí)，
∵CD=5，
∴AD=5，
∵D（3，0），
∴OE=

52-32

=4，
∴E₁（0，4）；
②當(dāng)DE=EC時(shí)，可得出E點(diǎn)在CD的垂直平分線上，可得出E點(diǎn)橫坐標(biāo)為：3+

5

2

=

11

2

，
進(jìn)而將x=

11

2

代入y=-

1

2

x+4，得出y=

5

4

，
可得E₂（

11

2

，

5

4

）；
③當(dāng)DC=EC時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD，
則△CEG∽△CAO，
∴

EG

OA

=

CG

OC

=

CE

AC

，
即EG=

5

，CG=2

5

，
∴E₃（8-2

5

，

5

）；
綜上所述，符合條件的E點(diǎn)共有三個(gè)：E₁（0，4）、E₂（

11

2

，

5

4

）、E₃（8-2

5

，

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、等腰三角形的構(gòu)成條件、圖形面積的求法等知識(shí)，（3）題的解題過(guò)程并不復(fù)雜，關(guān)鍵在于理解題意．