Question

在△ABC中，∠BAC與∠ABC的角平分線AE、BE相交于點E，延長AE交△ABC的外接圓于D點，連接BD、CD、CE，且∠BDA=60°
①求證：△BDE是等邊三角形；
②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎樣的四邊形，并證明你的猜想；
③在②的條件下當CE=4時，求四邊形ABDC的面積．

Answer 1

【答案】分析：①由等弧所對圓周角可得∠BCA=∠BDA=60°，顯然∠BAC+∠ABC=120°，由兩條角平分線和三角形的外角性質(zhì)，可得到∠BED=60°，由此得證．
②由△BDE是等邊三角形，可以得出BC垂直平分DE，從而證得△CDE為等邊三角形，解決第二個問題．
③由第二個問題的結(jié)論，利用菱形面積等于對角線乘積的一半解決第三個問題．
解答：①證明：如圖，在圓中∠ACB=∠BDA=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
又∵AE、BE是∠BAC與∠ABC的角平分線，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=（∠ABC+∠BAC）=60°，
∴△BDE是等邊三角形．

②四邊形BDCE是菱形．
證明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分線，△BDE是等邊三角形，
∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，
∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，
∴△BFD≌△CFD，
∴BF=CF，
∴DE垂直平分BC，
因此四邊形BDCE是菱形．

③解：由∠ABC=∠ADC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，AE是∠BAC的角平分線，
可得∠CAD=30°，AD為圓的直徑，CD=CE=4，
∴AD=2CD=8，AC=4
因此S_{四邊形ABDC}=2×（4×4×）=16．
點評：此題主要考查等邊三角形的判定，菱形的判定及三角形面積的有關(guān)計算．