Question

如圖，∠MON=30°，點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…在射線(xiàn)ON上，點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…在射線(xiàn)OM上，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…均為等邊三角形．若OA₁=1，則△A_nB_nA_n+1的邊長(zhǎng)為

2^n-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)得出A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，以及A₂B₂=2B₁A₂，得出A₃B₃=4B₁A₂=4，A₄B₄=8B₁A₂=8，A₅B₅=16B₁A₂…進(jìn)而得出答案．

解答：解：∵△A₁B₁A₂是等邊三角形，
∴A₁B₁=A₂B₁，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA₁=A₁B₁=1，
∴A₂B₁=1，
∵△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄是等邊三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，B₁A₂∥B₂A₃，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A₂B₂=2B₁A₂，B₃A₃=2B₂A₃，
∴A₃B₃=4B₁A₂=4，
A₄B₄=8B₁A₂=8，
A₅B₅=16B₁A₂=16，
以此類(lèi)推：△A_nB_nA_n+1的邊長(zhǎng)為 2^n-1．
故答案是：2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出A₃B₃=4B₁A₂，A₄B₄=8B₁A₂，A₅B₅=16B₁A₂進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．