Question

【題目】如圖，拋物線 y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y軸于點M.
（1）求拋物線的表達式；
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標；
（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A．N為頂點的三角形與△MAO相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知 .解得 .

∴拋物線的表達式為y= .

（2）

解：將x=0代入拋物線表達式，得y=1.∴點M的坐標為（0,1）.

設(shè)直線MA的表達式為y=kx+b，則

.解得k= ，b=1.∴直線MA的表達式為y= x+1.

設(shè)點D的坐標為（ ），則點F的坐標為（ ）.

DF=

= .

當 時，DF的最大值為 .

此時 ，即點D的坐標為（ ）.

（3）

存在點P，使得以點P、A．N為頂點的三角形與△MAO相似.

在Rt△MAO中，AO=3MO,要使兩個三角形相似，由題意可知，點P不可能在第一象限.

① 設(shè)點P在第二象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM,

∴ ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=－8.又－3<M<0,故此時滿足條件的點不存在.

② 當點P在第三象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM,

∴ ，即 .

解得m=－3或m=8.此時點P的坐標為（－8，,15）.

③ 當點P在第四象限時，

若AN=3PN時,則－3 ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=2.

當m=2時， .此時點P的坐標為（2，－ ）.

若PN=3NA,則－ ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=10，此時點P的坐標為（10，,39）.

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（－8，,15）、（2，－ ）、（10，,39）.

【解析】（1）把三個點的坐標代入二次函數(shù)解析式，求出a、b、c的值；
（2）表示出D、F兩點的坐標和DF的長度，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
（3）利用三角形的相似性進行解答。
【考點精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．