如圖，已知△ABC的周長為2p，在AB、AC上分別取點M和N，使MN∥BC，且MN與△ABC的內切圓相切．
求：MN的最值．
設BC=a，BC邊上的高為h，
內切圓半徑為r．
∵△AMN∽△ABC，
MN
BC
=
h-2r
h
，
MN=a（1-
2r
h
），
由S△ABC=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
（a+b+c）r=
1
2
•2pr=rp，
∴r=
S△ABC
p
=
ah
2p
，
∴MN=a（1-
a
p
）=p•
a
p
（1-
a
p
）≤p[
a
p
+(1-
a
p
)
2
]2=
p
4
，
當且僅當
a
p
=1-
a
p
，
即a=
p
2
時，取等號，
∴MN的最大值為
p
4
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M．
（1）求證：AH=2OM；
（2）若∠BAC=60°，求證：AH=AO．（初二）

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

正三角形內切圓半徑與外接圓半徑及此正三角形高線之比為______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，∠A=40°，半徑OE⊥AB，連接CE，則∠E=（　　）
A．5°B．10°C．15°D．20°

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知：如圖，△ABC的中線AD、BE相交于點F，AF：FD=2：1，則S△BDF：S四邊形EFDC=______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，等邊三角形ABC的內切圓的面積9π，則△ABC的周長為______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，s=
a+b+c
2
，內切圓I和BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)．求證：
（1）AF=s-a；
（2）S△ABC=s（s-a）tan
A
2
．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內切圓圓心，則∠AIB的度數(shù)是______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

O是△ABC的內心，∠BOC為130°，則∠A的度數(shù)為（　�。�
A．130°B．60°C．70°D．80°

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