Question

如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，若AQ=PQ，PR=PS，則這四個結(jié)論中正確的有
①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．

1. A.
   4個
2. B.
   3個
3. C.
   2個
4. D.
   1個

Answer 1

B
分析：根據(jù)已知條件利用HL易證△APR≌△APS，再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，從而可證（1）、（2）正確；由AQ=PQ，利用等邊對等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性質(zhì)可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分線可得∠BAC=2∠1，等量代換，從而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等兩直線平行可得QP∥AR，（3）正確；根據(jù)已知條件可知△BRP與△CSP只有一角、一邊對應(yīng)相等，故不能證明兩三角形全等，因此（4）不正確．
解答：解：（1）PA平分∠BAC．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，
∴△APR≌△APS，
∴∠PAR=∠PAS，
∴PA平分∠BAC；
（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；
（3）∵AQ=PR，
∴∠1=∠APQ，
∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，
又∵PA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∴∠PQS=∠BAC，
∴PQ∥AR；
（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠CSP，
∵PR=PS，
∴△BRP不一定全等與△CSP（只具備一角一邊的兩三角形不一定全等）．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；做題時利用了平行線的判定、等邊對等角、三角形外角的性質(zhì)，要熟練掌握這些知識并能靈活應(yīng)用．