(2004•無錫)已知:如圖,Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm.點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā),沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了t秒(t>0)時(shí),以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D,與邊AB相交于E、F兩點(diǎn).過E作EG⊥DE交射線BC于G.
(1)若E與B不重合,問t為何值時(shí),△BEG與△DEG相似?
(2)問:當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí),點(diǎn)G在線段BC上當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí),點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上?
(3)當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上(不包括端點(diǎn)B、C)時(shí),求四邊形CDEG的面積S(cm2)關(guān)于時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并問點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了幾秒鐘時(shí),S取得最大值最大值為多少?

【答案】分析:(1)連接OD,DF.那么OD⊥AC,則∠AOD=60°,∠AED=30°.由于∠DEG=90°,因此∠BEG=60°,因此本題可分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)∠EDG=60°,∠DGE=30°時(shí),∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°.這樣∠BGD和∠ACB相等,那么G和C重合.
②當(dāng)∠DGE=60°時(shí),可在直角△AOD中,根據(jù)∠A的度數(shù)和AO的長(zhǎng)表示出AD的長(zhǎng),也就能表示出CD的長(zhǎng),由于∠A=∠AED=30°,那么AD=DE,可在直角△DEG中,用AD的長(zhǎng)表示出DG,進(jìn)而根據(jù)DG∥AB得出的關(guān)于CD,AD,DG,AB的比例關(guān)系式即可求出此時(shí)t的值.
(2)本題可先求出BG的表達(dá)式,然后令BG>BC,即可得出G在BC延長(zhǎng)線上時(shí)t的取值范圍.
(3)由于四邊形CGED不是規(guī)則的四邊形,因此其面積可用△ABC的面積-△ADE的面積-△BEG的面積來求得.在前兩問中已經(jīng)求得AD,AE,BE,BG的表達(dá)式,那么就不難得出這三個(gè)三角形的面積.據(jù)此可求出S,t的函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值.
解答:解:(1)連接OD,DF.
∵AC切⊙O于點(diǎn)D,
∴OD⊥AC.
在Rt△OAD中,∠A=30°,OA=t,
∴OD=OF=t,AD=OA•cosA=
又∵∠FOD=90°-30°=60°,
∴∠AED=30°,∴AD=ED=
∵DE⊥EG,
∴∠BEG=60°,
△BEG與△DEG相似.
∵∠B=∠GED=90°,
①當(dāng)∠EGD=30°,
CE=2BE=2(6-t)則∠BGD=60°=∠ACB,此時(shí)G與C重合,

DE==AD,CD=12-,BE=6-t,
∵△BEG∽△DEC,
=,
=,
t=
②當(dāng)∠EGD=60°.
∴DG⊥BC,DG∥AB.
在Rt△DEG中,∠DEG=90°,DE=,
∴DG=t.
在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=6,
∴AC=12,AB=6,
∴CD=12-
∵DG∥AB,
解得t=
答:當(dāng)t為時(shí),△BEG與△EGD相似;

(2)∵AC切⊙O于點(diǎn)D,
∴OD⊥AC.
在Rt△OAD中,∠A=30°,OA=t,
∴∠AED=30°,∴DE⊥EG,
∴∠BEG=60°.
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6,
∴AB=6,BE=6-t.
Rt△BEG中,∠BEG=60°,
∴BG=BE•tan60°=18-t.
當(dāng)0≤18-t≤6,即≤t≤4時(shí),點(diǎn)G在線段BC上;
當(dāng)18-t>6,即0<t<時(shí),點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上;

(3)過點(diǎn)D作DM⊥AB于M.
在Rt△ADM中,∠A=30°,
∴DM=AD=t.
∴S=S△ABC-S△AED-S△BEG
=36-t2-27t
=-(t-2+<t<4).
所以當(dāng)t=時(shí),s取得最大值,最大值為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn).
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(1)若該拋物線過點(diǎn)B,且它的頂點(diǎn)P在直線y=-2x+b上,試確定這條拋物線的解析式;
(2)過點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C,若拋物線的對(duì)稱軸恰好過C點(diǎn),試確定直線y=-2x+b的解析式.

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(1)若該拋物線過點(diǎn)B,且它的頂點(diǎn)P在直線y=-2x+b上,試確定這條拋物線的解析式;
(2)過點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C,若拋物線的對(duì)稱軸恰好過C點(diǎn),試確定直線y=-2x+b的解析式.

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(1)若E與B不重合,問t為何值時(shí),△BEG與△DEG相似?
(2)問:當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí),點(diǎn)G在線段BC上當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí),點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上?
(3)當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上(不包括端點(diǎn)B、C)時(shí),求四邊形CDEG的面積S(cm2)關(guān)于時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并問點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了幾秒鐘時(shí),S取得最大值最大值為多少?

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