Question

【題目】某商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共200件，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表，

商品名稱	甲	乙
進(jìn)價(jià)（元/件）	80	100
售價(jià)（元/件）	160	240

設(shè)其中甲種商品購(gòu)進(jìn)x件

（1）若該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)這200件商品恰好用去17900元，求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

（2）若設(shè)該商場(chǎng)售完這200件商品的總利潤(rùn)為y元．

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②該商品計(jì)劃最多投入18000元用于購(gòu)買這兩種商品，則至少要購(gòu)進(jìn)多少件甲商品？若售完這些商品，則商場(chǎng)可獲得的最大利潤(rùn)是多少元？

（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，生產(chǎn)廠家對(duì)甲種商品的出廠價(jià)下調(diào)a元（50＜a＜70）出售，且限定商場(chǎng)最多購(gòu)進(jìn)120件，若商場(chǎng)保持同種商品的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）中的條件，設(shè)計(jì)出使該商場(chǎng)獲得最大利潤(rùn)的進(jìn)貨方案．

Answer 1

【答案】（1）購(gòu)進(jìn)甲種商品105件，乙種商品95件．（2）y=-60x+28000（0≤x≤200）．該商場(chǎng)獲得的最大利潤(rùn)為22000元．（3）商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種商品120件，乙種商品80件獲利最大．

【解析】

試題分析：（1）甲種商品購(gòu)進(jìn)x件，乙種商品購(gòu)進(jìn)了200-x件，由總價(jià)=甲的單價(jià)×購(gòu)進(jìn)甲種商品的數(shù)量+乙的單價(jià)×購(gòu)進(jìn)乙種商品的數(shù)量，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解出方程即可得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)利潤(rùn)=甲商品的單件利潤(rùn)×數(shù)量+乙商品的單件利潤(rùn)×數(shù)量，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

②根據(jù)總價(jià)=甲的單價(jià)×購(gòu)進(jìn)甲種商品的數(shù)量+乙的單價(jià)×購(gòu)進(jìn)乙種商品的數(shù)量，列出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，再根據(jù)y關(guān)于x函數(shù)的單調(diào)性即可解決最值問題；

（3）根據(jù)利潤(rùn)=甲商品的單件利潤(rùn)×數(shù)量+乙商品的單件利潤(rùn)×數(shù)量，可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，分x的系數(shù)大于0、小于0以及等于0三種情況考慮即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）甲種商品購(gòu)進(jìn)x件，乙種商品購(gòu)進(jìn)了200-x件，

由已知得：80x+100（200-x）=17900，

解得：x=105，

200-x=200-105=95（件）．

答：購(gòu)進(jìn)甲種商品105件，乙種商品95件．

（2）①由已知可得：y=（160-80）x+（240-100）（200-x）=-60x+28000（0≤x≤200）．

②由已知得：80x+100（200-x）≤18000，

解得：x≥100，

∵y=-60x+28000，在x取值范圍內(nèi)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x=100時(shí)，y有最大值，最大值為-60×100+28000=22000．

故該商場(chǎng)獲得的最大利潤(rùn)為22000元．

（3）y=（160-80+a）x+（240-100）（200-x），

即y=（a-60）x+28000，其中100≤x≤120．

①當(dāng)50＜a＜60時(shí)，a-60＜0，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=100時(shí)，y有最大值，

即商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各100件，獲利最大．

②當(dāng)a=60時(shí)，a-60=0，y=28000，

即商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種商品的數(shù)量滿足100≤x≤120的整數(shù)件時(shí)，獲利都一樣．

③當(dāng)60＜x＜70時(shí)，a-60＞0，y歲x的增大而增大，

∴當(dāng)x=120時(shí)，y有最大值，

即商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種商品120件，乙種商品80件獲利最大．