Question

已知拋物線：y1=-

1

2

x2+2x將拋物線y₁向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到拋物線y₂，
（1）求拋物線y₂的解析式．
（2）如圖，拋物線y₂的頂點(diǎn)為P，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，在y₁、y₂這兩條拋物線上是否存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、P、M、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)P為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用二次函數(shù)平移的規(guī)律解答即可；
（2）假設(shè)符合條件的N點(diǎn)存在，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等，找出點(diǎn)N到x軸的距離，即拋物線的縱坐標(biāo)，代入解析式，解方程解決問題．

解答：解：（1）依題意把拋物線：y1=-

1

2

x2+2x=-

1

2

（x-2）²+2向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)₂=-

1

2

(x-4)2+3，
整理得y₂=-

1

2

x2+4x-5；

（2）符合條件的N點(diǎn)存在．
如圖：若四邊形OPMN為符合條件的平行四邊形，則OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x軸于點(diǎn)A，NB⊥x軸于點(diǎn)B
∴∠PAO=∠MBN=90°，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3），
∴NB=PA=3，
∵點(diǎn)N在拋物線y₁、y₂上，且P點(diǎn)為y₁、y₂的最高點(diǎn)
∴符合條件的N點(diǎn)只能在x軸下方，
①點(diǎn)N在拋物線y₁上，則有：-

1

2

x2+2x=-3
解得：x=2-

10

x=2+

10

②點(diǎn)N在拋物線y₂上，則有：-

1

2

(x-4)2+3=-3
解得：x=4-2

3

或x=4+2

3

∴符合條件的N點(diǎn)有四個(gè)：

N1(2- 10 ，-3)；N2(4-2 3 ，-3)； N3(2+ 10 ，-3)；N4(4+2 3 ，-3)

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查利用平移的規(guī)律求二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式，利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解決問題．