Question

如圖，在矩形ABCD中，點E為AB的中點，EF⊥EC交AD于點F，連接CF（AD＞AE），下列結論：

①∠AEF=∠BCE；

②AF+BC＞CF；

③S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE；

④若=，則△CEF≌△CDF．

其中正確的結論是　　．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

①③④

解：∵EF⊥EC，

∴∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠BEC+∠BCE=90°，

∴∠AEF=∠BCE，故①正確；

又∵∠A=∠B=90°，

∴△AEF∽△BCE，

∴=，

∵點E是AB的中點，

∴AE=BE，

∴=，

又∵∠A=∠CEF=90°，

∴△AEF∽△ECF，

∴∠AFE=∠EFC，

過點E作EH⊥FC于H，

則AE=DH，

在△AEF和△HEF中，，

∴△AEF≌△HEF（HL），

∴AF=FH，

同理可得△BCE≌△HCE，

∴BC=CH，

∴AF+BC=CF，故②錯誤；

∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，

∴S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，故③正確；

若=，則cot∠BCE=====2×=，

∴∠BCE=30°，

∴∠DCF=∠ECF=30°，

在△CEF和△CDF中，，

∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正確，

綜上所述，正確的結論是①③④．

故答案為：①③④．