Question

已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交與A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交與點(diǎn)C（0，-3），對(duì)稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交與點(diǎn)D．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若平行于x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N（M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)），且MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑．
（3）若點(diǎn)M在第三象限，記MN與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E．
①當(dāng)線段MN=AB時(shí)，求tan∠CED的值；
②當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴c=-3，
對(duì)稱軸為直線x=-=1，
∴b=-2，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x²-2x-3；

（2）設(shè)圓的半徑為r，則直徑MN=2r，
①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（r+1，r），
代入拋物線解析式得，（r+1）²-2（r+1）-3=r，
整理得，r²-r-4=0，
解得r₁=，r₂=（舍去）；
②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，（r+1）²-2（r+1）-3=-r，
整理得，r²+r-4=0，
解得r₃=，r₄=（舍去），
所以該圓的半徑為或；

（3）①令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
∵M(jìn)N=AB，
∴MN=×4=3，
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1+=，
代入二次函數(shù)解析式得，y=（）²-2×-3=-，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，-），
點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-，
∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為E，-×2-（-3）=-，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），
則，
解得，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
x=1時(shí)，y=1-3=-2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-2），
tan∠CED==；

②∵直線BC的解析式為y=x-3，
∴∠BCO=45°，
若∠CDE=90°，則△CDE是等腰直角三角形，
∴點(diǎn)F與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相同，為-2，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-2，
代入二次函數(shù)y=x²-2x-3得，x²-2x-3=-2，
整理得，x²-2x-1=0，
解得x₁=1-，x₂=1+，
∵點(diǎn)M在第三象限，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（1-，-2）；
若∠CED=90°，則點(diǎn)E與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，為-2，
∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為E，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為=-，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-，
代入二次函數(shù)y=x²-2x-3得，x²-2x-3=-，
整理得，2x²-4x-1=0，
解得x₁=1+，x₂=1-，
∵點(diǎn)M在第三象限，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（1-，-），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-，-2）或（1-，-）．
分析：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出c，再根據(jù)對(duì)稱軸求出b，即可得解；
（2）設(shè)圓的半徑為r，則MN=2r，再分直線MN在x軸上方與下方兩種情況表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式計(jì)算即可求出r；
（3）①令y=0解關(guān)于x的一元二次方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到AB，再求出MN的長度，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，利用銳角的正切的定義列式計(jì)算即可得解；
②根據(jù)直線BC的解析式可得∠BCO=45°，然后分∠CDE=90°時(shí)，△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)F與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，即為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，計(jì)算即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；∠CED=90°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，即為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，計(jì)算即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)的定義，點(diǎn)的對(duì)稱，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，難點(diǎn)在于要分情況討論．