如圖,AB為半圓O的直徑,AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn),CD切⊙O于點(diǎn)E,AD與CD相交于D,BC與CD相交于C,連接OD、OC,對(duì)于下列結(jié)論:①OD2=DE•CD;②AD+BC=CD;③OD=OC;④S梯形ABCD=CD•OA;⑤∠DOC=90°,其中正確的是( 。

 

A.

①②⑤

B.

②③④

C.

③④⑤

D.

①④⑤

考點(diǎn):

切線的性質(zhì);切線長(zhǎng)定理;相似三角形的判定與性質(zhì)。

專題:

計(jì)算題。

分析:

連接OE,由AD,DC,BC都為圓的切線,根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個(gè)角為直角,且利用切線長(zhǎng)定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代換可得出CD=AD+BC,選項(xiàng)②正確;由AD=ED,OD為公共邊,利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而這四個(gè)角之和為平角,可得出∠DOC為直角,選項(xiàng)⑤正確;由∠DOC與∠DEO都為直角,再由一對(duì)公共角相等,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似,可得出三角形DEO與三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE•CD,選項(xiàng)①正確;又ABCD為直角梯形,利用梯形的面積計(jì)算后得到梯形ABCD的面積為AB(AD+BC),將AD+BC化為CD,可得出梯形面積為AB•CD,選項(xiàng)④錯(cuò)誤,而OD不一定等于OC,選項(xiàng)①錯(cuò)誤,即可得到正確的選項(xiàng).

解答:

解:連接OE,如圖所示:

∵AD與圓O相切,DC與圓O相切,BC與圓O相切,

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,

∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,

∴CD=DE+EC=AD+BC,選項(xiàng)②正確;

在Rt△ADO和Rt△EDO中,

,

∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),

∴∠AOD=∠EOD,

同理Rt△CEO≌Rt△CBO,

∴∠EOC=∠BOC,

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,

∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,選項(xiàng)⑤正確;

∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,

∴△EDO∽△ODC,

=,即OD2=DC•DE,選項(xiàng)①正確;

而S梯形ABCD=AB•(AD+BC)=AB•CD,選項(xiàng)④錯(cuò)誤;

由OD不一定等于OC,選項(xiàng)③錯(cuò)誤,

則正確的選項(xiàng)有①②⑤.

故選A

點(diǎn)評(píng):

此題考查了切線的性質(zhì),切線長(zhǎng)定理,相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及梯形面積的求法,利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知如圖,AB為半圓⊙O的直徑,C為半圓上的一點(diǎn).
(1)請(qǐng)你只用直尺和圓規(guī),分別以AC、BC為直徑,向△ABC外側(cè)作半圓.(不必寫出作法,只需保留作圖痕跡)
(2)若AC=3,BC=4,求所作的兩個(gè)半圓中不與⊙O重疊的部分的面積和.
精英家教網(wǎng)

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a
-
b
)2≥0
,∴a-2
ab
+b≥0
,∴a+b≥2
ab
,只有點(diǎn)a=b時(shí),等號(hào)成立.
結(jié)論:在a+b≥2
ab
(a,b均為正實(shí)數(shù))中,若ab為定值p,則a+b≥2
p
,只有當(dāng)a=b時(shí),a+b有最小值2
p

根據(jù)上述內(nèi)容,回答下列問題:
(1)若m>0,只有當(dāng)m=
 
時(shí),m+
1
m
有最小值
 

(2)思考驗(yàn)證:如圖,AB為半圓O的直徑,C為半圓上任意一點(diǎn),(與點(diǎn)A,B不重合).過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足精英家教網(wǎng)為D,AD=a,DB=b.
試根據(jù)圖形驗(yàn)證a+b≥2
ab
,并指出等號(hào)成立時(shí)的條件.

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(2)若FA=2,OA=3,求BC的長(zhǎng).

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