Question

【題目】如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：BF=DF；

（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連結(jié)FG交BD于點(diǎn)O．

①求證：四邊形BFDG是菱形；

②若AB=3，AD=4，求FG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．

【解析】

（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及折疊特性判斷；（2）①根據(jù)已知矩形性質(zhì)及第一問證得鄰邊相等判斷；②根據(jù)折疊性質(zhì)設(shè)未知邊，構(gòu)造勾股定理列方程求解．

（1）證明：如圖1，根據(jù)折疊，∠DBC=∠DBE，

又AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∴∠DBE=∠ADB，

∴DF=BF；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴FD∥BG，

又∵DG∥BE，

∴四邊形BFDG是平行四邊形，

∵DF=BF，

∴四邊形BFDG是菱形；

②∵AB=3，AD=4，

∴BD=5．
∴OB=BD=．
假設(shè)DF=BF=x，∴AF=AD-DF=4-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即32+（4-x）2=x2，
解得x=，
即BF=，
∴由勾股定理得，FO=，
∴FG=2FO=．