Question

對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c，如果當(dāng)x取任意整數(shù)時(shí)，函數(shù)值y都是整數(shù)，那么我們把該函數(shù)的圖象叫做整點(diǎn)拋物線（例如：y=x²+2x+2）．
（1）請你寫出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值小于1的整點(diǎn)拋物線的解析式

 

．（不必證明）
（2）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖诙�次�?xiàng)系數(shù)的絕對值小于

1

2

的整點(diǎn)拋物線？若存在，請寫出其中一條拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）a和b要么同時(shí)為整數(shù)，要么同時(shí)是分母為2的分?jǐn)?shù)；
（2）利用反證法證明．假設(shè)存在符合條件的拋物線，則對于拋物線y=ax²+bx+c．①當(dāng)x=0時(shí)y=c，當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c，由整點(diǎn)拋物線定義推知a+b必為整數(shù)；②當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c=2a+2（a+b）+c是整數(shù)，所以a應(yīng)為

1

2

的整數(shù)倍；綜合①②即可得到答案．

解答：解：（1）如：y=

1

2

x2+

1

2

x，y=-

1

2

x2-

1

2

x等等
（只要寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式）

（2）解：假設(shè)存在符合條件的拋物線，則對于拋物線y=ax²+bx+c
當(dāng)x=0時(shí)y=c，當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c，
由整點(diǎn)拋物線定義知：c為整數(shù)，a+b+c為整數(shù)，
∴a+b必為整數(shù)．
又當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c=2a+2（a+b）+c是整數(shù)，
∴2a必為整數(shù)，從而a應(yīng)為

1

2

的整數(shù)倍，
∴|a|≥

1

2

；
∴不存在二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值小于

1

2

的整點(diǎn)拋物線．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上．