Question

如圖，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以點B為圓心，線段BC長為半徑的弧交邊AC于點D，且∠DBC=∠BAC，P是邊BC延長線上一點，過點P作PQ⊥BP，交線段BD的延長線于點Q．設CP=x，DQ=y．

（1）求CD的長；

（2）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）當∠DAQ=2∠BAC時，求CP的值．

Answer 1

解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC．………………（1分）

∴

∵，，∴．…………………………………（1分）

（2）∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．

∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．

∴∠ABC=∠ACB．

∴AC=AB=4

作AH⊥BC，垂足為點H．

∴BH=CH=1．

作DE⊥BC，垂足為點E，可得DE∥AH．

∴，即．

∴，． ……………………………………………………（1分）

又∵DE∥PQ，∴，即． …………………………（1分）

整理，得．………………………………………………………（1分）

自變量取值范圍為x>0．………………………………………………………………（1分）

（3）∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，

∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．

∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，∴∠ABD=∠DQA．………………（1分）

∴AQ=AB=4． ………………………………………………………………（1分）

作AF⊥BQ，垂足為點F，可得，．

∴．…………………………………………（1分）

解得． …………………………………………………………………（1分）

∴． ……………………………………………………………（1分）

解得，即．…………………………………………………（1分）