Question

任給一個(gè)自然數(shù)N，把N的各位數(shù)字按相反的順序?qū)懗鰜?lái)，得到一個(gè)新的自然數(shù)N′，試證明：|N-N′|能被9整除．

Answer 1

分析：設(shè)出N及N′，推出N除以9所得的余數(shù)等于a₁+a₂+…+a_n除以9所得的余數(shù)，N′除以9所得的余數(shù)等
a_n+a_n-1+…+a₁除以9所得的余數(shù)，從而得出|N-N′|能被9整除．

解答：解：令N=

.

a 1a 2an

，則N′=

.

a na n-1a1

．
所以，N除以9所得的余數(shù)等于a₁+a₂+…+a_n除以9所得的余數(shù)，
而N′除以9所得的余數(shù)等于a_n+a_n-1+…+a₁除以9所得的余數(shù)．
顯然，a₁+a₂+…+a_n=a_n+a_n-1+…+a₁．因此，N與N′除以9所得的余數(shù)相同，從而|N-N'|能被9整除．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了帶余除法，要注意本例用了一個(gè)結(jié)論：若a與b除以c所得的余數(shù)相同，則c|a-b這個(gè)結(jié)論是顯然的，而且它的應(yīng)用十分廣泛．另外，本例的結(jié)論還可以推廣．不一定非把N的各位數(shù)字按相反順序重寫，可以以任意的次序重寫N的各位數(shù)宇得出N′，則|N-N'|仍能被9整除．