【答案】
分析:(1)此題應(yīng)分兩種情況:①a=0,此函數(shù)是一次函數(shù),與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);
②a≠0,此函數(shù)是二次函數(shù),可由根的判別式求出a的值,以此確定其解析式;
(2)設(shè)圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,連接PC,由圓周角定理知PC⊥BC;由于PB是圓的直徑,且AB切圓于B,得PB⊥AB,由此可證得△PBC∽△BAO,根據(jù)兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)直角邊成比例,即可得到PC、BC的比例關(guān)系,可根據(jù)這個(gè)比例關(guān)系來設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接CM,設(shè)CM與PB的交點(diǎn)為Q,由于C、M關(guān)于直線PB對稱,那么PB垂直平分CM,即CQ=QM;過M作MD⊥x軸于D,取CD的中點(diǎn)E,連接QE,則QE是Rt△CMD的中位線;在Rt△PCB中,CQ⊥OB,QE⊥BC,易證得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等,因此它們的正切值都等于
(在(2)題已經(jīng)求得);由此可得到CE=2QE=4BE,(2)中已經(jīng)求出了CB的長,根據(jù)CE、BE的比例關(guān)系,即可求出BE、CE、QE的長,由此可得到Q點(diǎn)坐標(biāo),也就得到M點(diǎn)的坐標(biāo),然后將點(diǎn)M代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可.
解答:解:(1)當(dāng)a=0時(shí),y=x+1,圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)(1分)
當(dāng)a≠0時(shí),△=1-4a=0,a=
,此時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).
∴函數(shù)的解析式為:y=x+1或y=
x
2+x+1;(3分)
(2)設(shè)P為二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C;
∵y=ax
2+x+1是二次函數(shù),由(1)知該函數(shù)關(guān)系式為:
y=
x
2+x+1,
∴頂點(diǎn)為B(-2,0),圖象與y軸的交點(diǎn)
坐標(biāo)為A(0,1)(4分)
∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B
∴PB⊥AB則∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽R(shí)t△BOA
∴
=
,故PC=2BC,(5分)
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),
∵∠ABO是銳角,∠PBA是直角,
∴∠PBO是鈍角,
∴x<-2
∴BC=-2-x,PC=-4-2x,
即y=-4-2x,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-4-2x)
∵點(diǎn)P在二次函數(shù)y=
x
2+x+1的圖象上,
∴-4-2x=
x
2+x+1(6分)
解之得:x
1=-2,x
2=-10
∵x<-2,
∴x=-10,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(-10,16)(7分)
(3)點(diǎn)M不在拋物線y=ax
2+x+1上(8分)
由(2)知:C為圓與x軸的另一交點(diǎn),連接CM,CM與直線PB的交點(diǎn)為Q,過點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為D,取CD的中點(diǎn)E,連接QE,則CM⊥PB,且CQ=MQ,即QE是中位線.
∴QE∥MD,QE=
MD,QE⊥CE
∵CM⊥PB,QE⊥CE,PC⊥x軸
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=
CE=2QE=2×2BE=4BE,又CB=8,
故BE=
,QE=
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
,
)
可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(
,
)(11分)
∵
+
+1=
≠
∴C點(diǎn)關(guān)于直線PB的對稱點(diǎn)M不在拋物線y=ax
2+x+1上.(12分)
(其它解法,仿此得分)
點(diǎn)評:此題是二次函數(shù)的綜合題,涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定,圓周角定理,相似三角形的判定和性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),三角形中位線定理,解直角三角形的應(yīng)用等重要知識(shí),需要特別注意的是(1)題所求的是函數(shù)y=ax
2+x+1,而沒有明確是一次函數(shù)還是二次函數(shù),所以要把兩種情況都考慮到,以免漏解.