Question

（2012•薊縣模擬）如圖，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與反比例函數(shù)的圖象相交于點A，B．已知點A的坐標(biāo)為（1，4），點B（t，q）在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示直線AB的解析式；
（3）求拋物線的解析式；
（4）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，把△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，請在圖②中畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形，并直接寫出所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A（1，4）代入雙曲線，求得k即可；
（2）設(shè)點B（t，），t＜0，AB所在直線的函數(shù)表達式為y=mx+n，將點A、B代入，列出方程組，從而得出直線AB的解析式；
（3）可表示出直線AB與y軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)△AOB的面積為3，得2t²+3t-2=0，則求出點B的坐標(biāo)，將點A，B代入拋物線y=ax²+bx，求出a、b即可；
（4）畫出圖形，可得出點E的坐標(biāo)有兩個．
解答：解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，
所以k=4．故雙曲線的函數(shù)表達式為．（1分）

（2）設(shè)點B（t，），t＜0，AB所在直線的函數(shù)表達式為y=mx+n，
則有，
解得，．
直線AB的解析式為y=-x+；（3分）

（3）直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為，
故，
整理得2t²+3t-2=0，
解得t=-2，或t=（舍去）．
所以點B的坐標(biāo)為（-2，-2）．
因為點A，B都在拋物線y=ax²+bx（a＞0）上，
所以，
解得，
所以拋物線的解析式為y=x²+3x；（4分）

（4）畫出圖形（2分）
點E的坐標(biāo)是（8，-2）或（2，-8）．（2分）
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，一次函數(shù)的關(guān)系式，是中考壓軸題，難度較大．