Question

如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x軸．它的頂點A的坐標為（10，0），頂點B的坐標為(5，5

3

)，點P從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求∠BAO的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果）
（2）當點P在AB上運動時，△OPQ的面積S與時間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②），求點P的運動速度．
（3）求題（2）中面積S與時間

1

2

之間的函數(shù)關(guān)系式，及面積S取最大值時點P的坐標．
（4）如果點P，Q保持題（2）中的速度不變，當t取何值時，PO=PQ，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度數(shù)即可；
（2）利用圖②中的函數(shù)圖象，求得點P的運動時間與路程解決即可；
（3）利用特殊角的三角函數(shù)，三角形的面積以及配方法解決問題；
（4）分兩種情況進行列方程解決問題．

解答：解：（1）如圖，

過點B作BE⊥OA于E，則OE=5，BE=5，OA=10，
∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO=

BE

AE

=

3

，
∴∠BAO=60°；

 （2）由圖形可知，當點P運動了5秒時，它到達點B，此時AB=10，因此點P的運動速度為10÷5=2個單位/秒，
點P的運動速度為2個單位/秒；

（3）P（10-t，

3

t）（0≤t≤5），
∵S=

1

2

（2t+2）（10-t），
=-（t-

9

2

）²+

121

4

，
∴當t=

9

2

時，S有最大值為

121

4

，
此時P(

11

2

，

9 3

2

)；

（4）當P在AB上時，根據(jù)P點縱坐標得出：

3

t=

2+2t

2

，
解得：t=

3 +1

2

，
當P在BC上時，

2t-10

2

+5

3

=

2+2t

2

，
此方程無解，故t不存在，
綜上所知當t=

3 +1

2

時，PO=PQ．

點評：此題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，特殊角的三角函數(shù)，以及分類討論思想的滲透．