等腰△ABC,AB=AC=8,∠BAC=120°,P為BC的中點(diǎn),小慧拿著含30°角的透明三角板,使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P,三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn).
(1)如圖a,當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí).求證:△BPE∽△CFP;
(2)操作:將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時(shí),三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點(diǎn)E、F.
①探究1:△BPE與△CFP還相似嗎?(只需寫出結(jié)論)
②探究2:連接EF,△BPE與△PFE是否相似?請說明理由;
③設(shè)EF=m,△EPF的面積為S,試用m的代數(shù)式表示S.

【答案】分析:(1)找出△BPE與△CFP的對應(yīng)角,其中∠BPE+∠CPF=150°,∠CPF+∠CFP=150°,得出∠BPE=∠CFP,從而解決問題;
(2)①小題同前可證,②小題可通過對應(yīng)邊成比例證明,③小題求出△BPE中BE上的高,求出△PEF中EF上的高,得出關(guān)系式.
解答:(1)證明:∵在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°.
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,
∴∠BPE+∠BEP=150°,
又∠EPF=30°,且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,
∴∠BPE+∠CPF=150°,
∴∠BEP=∠CPF,
∴△BPE∽△CFP(兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似).

(2)解:①△BPE∽△CFP;
②△BPE與△PFE相似.
下面證明結(jié)論:
同(1),可證△BPE∽△CFP,得=,而CP=BP,因此
又因?yàn)椤螮BP=∠EPF,所以△BPE∽△PFE(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似).

③由②得△BPE∽△PFE,所以∠BEP=∠PEF.
分別過點(diǎn)P作PM⊥BE,PN⊥EF,垂足分別為M、N,則PM=PN.
連AP,在Rt△ABP中,由∠B=30°,AB=8,可得AP=4.
所以PM=2,所以PN=2,
所以s=PN×EF=m.
點(diǎn)評(píng):這是一道操作探究題,它改變了多年來揚(yáng)州市最后一道壓軸題以二次函數(shù)為主線的呈現(xiàn)方式.它以每位學(xué)生都有的30°三角板在圖形上的運(yùn)動(dòng)為背景,既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想,靜中思動(dòng),動(dòng)中求靜的思維方法,又考查了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的能力.
問題的設(shè)置以問題串的形式呈現(xiàn),層層推進(jìn),第1問入手容易,第2問深入困難,有一定的區(qū)分度,使不同層次的學(xué)生有不同的收獲.
同時(shí)通過本題的解答,一使同學(xué)們領(lǐng)悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,二是提醒教師學(xué)生在平時(shí)的教學(xué)中要注意變式練習(xí).
本題的第1問不難,用兩角相等即可證得相似,第2問中的①由第1問類比即得,②要用到①中對應(yīng)邊成比例代換后方可證得,③一般學(xué)生都能想到作高,卻想不到求這條高要用到角平分線、解直角三角形等知識(shí).
實(shí)際上三角板運(yùn)動(dòng)到特殊位置還有一些結(jié)論,感興趣的學(xué)生不妨繼續(xù)研究.
要關(guān)注幾何圖形在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下幾何關(guān)系的不變性哦!
練習(xí)冊系列答案
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若等腰△ABC(AB=AC),能用一刀剪成兩個(gè)等腰三角形,則∠A=
 

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在等腰△ABC,AB=AC,分別過點(diǎn)B、C作兩腰的平行線,經(jīng)過點(diǎn)A的直線與兩平行線分別交于點(diǎn)D、E,連接DC,BE,DC與AB邊相交于點(diǎn)M,BE與AC邊相交于點(diǎn)N.
(1)如圖1,若DE∥CB,寫出圖中所有與AM相等的線段,并選取一條給出證明.
(2)如圖2,若DE與CB不平行,在(1)中與AM相等的線段中找出一條仍然與AM相等的線段,并給出證明.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,P為BC上的中點(diǎn),小慧拿著含30°角的透明三角板,使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P處,三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到如圖所示情形時(shí),三角板的兩邊分別交BA的延長線于點(diǎn)E,交邊AC于點(diǎn)F,連接EF,△BPE與△PFE是否相似?請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在等腰△ABC中AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn),點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn),OP=OC,OP與AC相交與點(diǎn)M,則下列結(jié)論:
①點(diǎn)O是△PBC的外心;②△MAO∽△MPC;③AC=AO+AP;④S△ABC=
4
5
S四邊形AOCP
其中正確的有(  )

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已知等腰△ABC,AB=AC=4,∠BAC=120°,請用圓規(guī)和直尺作出△ABC的外接圓.并計(jì)算此外接圓的半徑.

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