Question

已知點E、F在△ABC的邊AB所在的直線上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分別交于邊BC所在的直線于點H、G．
如圖1，如果E、F在邊AB上，可得結論：EG+FH=AC．
理由是：因為FH∥EG∥AC，所以△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴=①，=②，①+②得=
又由已知AE=BF，所以BF+BE=AB，∴=1，即EG+FH=AC

（1）如圖2，如果點E在AB邊上，點F在AB的延長線，那么線段EG、FH、AC的長度有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明．
（2）如圖3，如果點E在AB的反向延長線上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

（1）線段EG、FH、AC的長度的數量關系是EG+FH=AC，
證明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴=①，=②，
∴①+②得：=
又∵AE=BF，
∴BF+BE=AB，
∴=1，
即EG+FH=AC

（2）線段EG、FH、AC的數量關系是EG-FH=AC，
證明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴=①，=②，
∴②-①得：=，
又∵AE=BF，
∴BE-BF=AB，
∴=1，
∴EG-FH=AC．
分析：（1）根據相似三角形的判定推出△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，得出比例式=①，=②，①+②得出=，把AE=BF代入即可求出答案；
（2）根據相似三角形的判定推出△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，得出比例式=①，=②，②-①得出=，把AE=BF代入求出即可．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，證明過程類似．