(2006•山西)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中有點A(-1,0),點B(4,0),以AB為直徑的半圓交y軸正半軸于點C.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)求過A,B,C三點的拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,若在拋物線上有一點D,使四邊形BOCD為直角梯形,求直線BD的解析式;
(4)設(shè)點M是拋物線上任意一點,過點M作MN⊥y軸,交y軸于點N.若在線段AB上有且只有一點P,使∠MPN為直角,求點M的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)已知了A、B的坐標(biāo),即可求出OA、OB的長,根據(jù)相交弦定理的推論即可求出OC的長,也就求出了C點的坐標(biāo).
(2)已知了三點的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求拋物線的解析式.
(3)要使四邊形BOCD為直角梯形,那么CD∥OB,直線CD與拋物線的交點即為D點.根據(jù)拋物線的對稱性即可得出D點的坐標(biāo).然后用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式.
(4)已知在線段AB上有且只有一點使∠MPN為直角,如果以MN為直徑作圓,那么P點必為圓和線段AB的切點.而MN∥x軸,因此三角形MPN是等腰直角三角形,因此M點的橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)絕對值的2倍,然后分M在x軸上方或x軸下方兩種情況分別代入拋物線的解析式中進行求解即可.
解答:解:(1)C點的坐標(biāo)為(0,2);理由如下:
如圖,連接AC,CB.依相交弦定理的推論可得OC2=OA•OB,
解得OC=2.
故C點的坐標(biāo)為(0,2).

(2)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-4).
把點C(0,2)的坐標(biāo)代入上式得a=-
∴拋物線解析式是y=-x2+x+2.

(3)如圖,過點C作CD∥OB,交拋物線于點D,則四邊形BOCD為直角梯形.
由(2)知拋物線的對稱軸是x=
∴點D的坐標(biāo)為(3,2).
設(shè)過點B,點D的解析式是y=kx+b.
把點B(4,0),點D(3,2)的坐標(biāo)代入上式得
解之得
∴直線BD的解析式是y=-2x+8.

(4)解:依題意可知,以MN為直徑的半圓與線段AB相切于點P.
設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,n).
①當(dāng)點M在第一或第三象限時,m=2n.
把點M的坐標(biāo)(2n,n)代入拋物線的解析式得n2-n-1=0,
解之得n=
∴點M的坐標(biāo)是(1+)或(1-,).
②當(dāng)點M在第二或第四象限時,m=-2n.
把點M的坐標(biāo)(-2n,n)代入拋物線的解析式得n2+2n-1=0,
解之得
∴點M的坐標(biāo)是(2-2,-1+)或(2+2,-1-).
綜上,滿足條件的點M的坐標(biāo)是(1+,),(1-),
(2-2,-1+),(2+2,-1-).
點評:本題考查了相交弦定理、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等知識點,綜合性強,考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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